Finden Sie die erste Ableitung von \(y = x^x\) für \(x \gt 0 \) mit allen dargestellten Schritten.
Hinweis, dass die Funktion \( y = x^{x}\) weder eine Potenzfunktion der Form \( x^{k}\) noch eine Exponentialfunktion der Form \( b^{x}\) ist und die bekannten Formeln der
Differenziation dieser beiden Funktionen
nicht verwendet werden können. Wir müssen eine andere Methode finden, um die erste Ableitung der gegebenen Funktion zu finden.
Gegeben:
\[ y = x^{x} \]
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus (ln) von beiden Seiten der obigen Gleichung:
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]
Wenden Sie die Eigenschaften logarithmischer Funktionen \(\ln A^{b} = b \ln A\) auf die rechte Seite der obigen Gleichung an und erhalten Sie:
\[ \ln y = x \ln x \]
Differenzieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung nach \(x\), unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite und der Produktregel auf der rechten Seite:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \]
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]
Vereinfachen Sie die rechte Seite:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]
Multiplizieren Sie beide Seiten mit \(y\) und vereinfachen Sie:
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]
Ersetzen Sie \(y\) durch \(x^{x}\), um die endgültige Antwort zu erhalten:
\[
\boxed{\frac{dy}{dx} = x^{x}(\ln x + 1)}
\]
Finden Sie die erste Ableitung von:
\[ f(x) = x^{2x} \]
\[ g(x) = (\sin x)^{x} \]
\[ h(x) = (x^2 + 1)^{x} \]
Antworten zu den obigen Übungen:
\[ f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \]
\[ g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \frac{x \cos x}{\sin x}\right) \]
\[ h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \]