Finden Sie die erste Ableitung von \( y = x^x \) für \( x > 0 \) unter Angabe aller Schritte.
Ableitung von \(x^{x}\) mit Schritten
Hinweis: Beachten Sie, dass die Funktion \( y = x^{x} \) weder eine Potenzfunktion der Form \( x^{k} \) noch eine Exponentialfunktion der Form \( b^{x} \) ist und die bekannten Formeln der Differentiation dieser beiden Funktionen nicht direkt angewendet werden können. Wir müssen eine andere Methode finden, um die erste Ableitung der gegebenen Funktion zu bestimmen.
Gegeben:
\[ y = x^{x} \]Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus (\( \ln \)) von beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]Wenden Sie die Eigenschaft logarithmischer Funktionen \( \ln A^{b} = b \ln A \) auf der rechten Seite an:
\[ \ln y = x \ln x \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \) unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite und der Produktregel auf der rechten:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \] \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]Vereinfachen Sie die rechte Seite:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \) und ersetzen Sie \( y = x^x \):
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]Übungen und Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Finden Sie die erste Ableitung von:
- \( f(x) = x^{2x} \)
- \( g(x) = (\sin x)^{x} \)
- \( h(x) = (x^2 + 1)^{x} \)
Antworten zu den obigen Übungen:
- \( f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \)
- \( g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \dfrac{x \cos x}{\sin x}\right) \)
- \( h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \)